Ich finde die Erklärung von void ziemlich treffend.
Im Deutschen ist das halt gerade in der alltagssprachlichen Nutzung recht häufig vermischt. Während Mitgefühl im oft positiven Kontext genutzt wird, hat Mitleid meist etwas negatives. Mit der guten Freundin die gerade eine schwierige Phase durchmacht hat man Mitgefühl, mit dem Obdachlosen am Bahnhof hat man Mitleid. Ohne dabei jetzt das negativ zu meinen, aber ich denke das Mitgefühl mit der guten Freundin ist dabei aber meist stärker als das Mitleid mit dem Obdachlosen. Es ist also rein sprachlich schon meist etwas komplizierter.
Sieht man Mitgefühl als die Tatsache, dass man mit fühlen, also die Emotionen des Gegenübers verstehen kann, so ist Mitleid eine Steigerung in der Intensität davon. Mitgefühl ist essentiell für uns, dass wir unsere Umwelt verstehen und auch einen Antrieb haben etwas zu tun. Auch Mitleid kann dabei punktuell sicher mal einen Anschub geben den man mit "einfachem" Mitgefühl nicht hätte. Übernimmt aber Mitleid die Kontrolle und man verliert sich in eben jenem, dann kann das zu vielen Problemen führen. Zu einem weil man selbst dann eben (stark) leidet, aber auch weil Handeln dadurch erschwert wird (siehe void s Beispiel). Jetzt könnte man ins gegenüberliegende Extrem gehen und sagen: wieso dann überhaupt Mitgefühl haben, wenn dieses zu Mitleid führen kann? Es ist notwendig für ein Miteinander. Zwischen Mitleid und Gefühlslosigkeit gilt es in jeder Situation aufs neue einen Weg zu finden um sich nicht zu verlieren.
Jeder Mensch leidet auf die eine oder andere Weise. Die große Frage ist: wie gehen wir damit um?